Повторение. Решение уравнений

Решение линейных уравнений

Правило переноса.
При переносе из одной части уравнения в другую член уравнения меняет свой знак на противоположный.

Важно:

В любом уравнении можно разделить левую и правую часть на одно и то же число. Но нельзя делить на неизвестное!

Решение квадратных уравнений

Уравнение вида ax2+bx+c=0, в котором a, b и c — действительные числа, и a≠0, называется квадратным уравнением.

Корни квадратного уравнения вычисляют по формулам:

 x1 = −b+D−−√2⋅a;     x2 = −b−D−−√2⋅a,  где D= b2−4ac.

D называется дискриминантом.

По значению дискриминанта можно определить количество корней квадратного уравнения.

Если D<0 (отрицательный), то у уравнения нет действительных корней.

Если D=0, то у уравнения два равных корня.

Если D>0 (положительный), то у уравнения два различных корня.

Неполные квадратные уравнения

Неполные квадратные уравнения имеют 2 вида:

1. если c=0, то ax2+bx=0;

  

2. если b=0, то ax2+c=0.

  

Неполные квадратные уравнения можно решать с помощью формул дискриминанта, но рациональнее выбрать специальные способы:

1. ax2+bx=0 можно решить, разложив на множители (вынести за скобку x)

 x⋅(ax+b)=0.

 x=0  или ax+b=0.     Значит, один корень равен 0, а второй корень x=−ba

(т. к. произведение двух чисел равно 0 только тогда, когда хотя бы один из множителей равен 0).

2x2−30x=0;x(2x−30)=0;x=0,или2x−30=0;2x=30;x=15.

Ответ: x=0;  x=15.

2. ax2+c=0 можно решить, извлекая корень из каждой части уравнения.

ax2=−c; (обе стороны делятся на a) x2=−ca.

 |x|= −ca−−−√.   Извлекая корень из правой части уравнения, получаем x по модулю.

Это значит, что

x1 = −ca−−−√;

x2 = −−ca−−−√.

4x2−100=0;4x2=100∣∣:4x2=25;|x|=25−−√;

из этого следует, что x=5 или x=−5.

Ответ: x1=5;   x2=−5.

x2+36=0;x2=−36. 

У уравнения нет решения, т. к. квадратный корень из отрицательного числа не имеет смысла (также известно, что число во второй степени не может быть отрицательным).

Ответ: корней нет.

Теорема Виета

Не ко всем квадратным уравнениям имеет смысл использовать эту теорему. Применять теорему Виета имеет смысл только к приведённым квадратным уравнениям.

x² + px + q = 0

Приведенное квадратное уравнение — это уравнение, в котором старший коэффициент «a=1». 

Выполните тренировочные задания (по 10 заданий из каждого раздела) : 
1. https://uchus.online/tasks/bank/100
2. https://uchus.online/tasks/bank/137

Домашние задание:
Решить по 2 уравнения на выбор из каждого пункта. Фото решения прислать учителю на почту или сообщением в ВК.