Функции и графики

Итак, мы рассмотрели функцию y=kx для случая, когда k=1. Пусть теперь k — положительное число, отличное от 1, например, k=2.

Рассмотрим функцию y=2x и составим таблицу значений этой функции:

x	1	2	−1	−2	4	12	−4	−12
y	2	1	−2	−1	12	4	−12	−4

Построим данные точки на координатной плоскости. Они намечают некоторую линию, состоящую из двух ветвей; проведём её.

Как и график функции y=1x, эту линию называют гиперболой.

Рассмотрим теперь случай, когда k<0; пусть, например, k=−1. Построим график функции y=1x (здесь k=−1).

График функции y=−f(x) симметричен графику функции y=f(x) относительно оси x. В частности, это значит, что график функции y=−1x симметричен графику y=1x относительно оси абсцисс. Таким образом мы получим гиперболу, ветви которой расположены во втором и четвёртом координатных углах.

Вообще графиком функции y=kx (k≠0) является гипербола, ветви которой расположены в первом и третьем координатных углах, если k>0, и во втором и четвёртом координатных углах, если k<0.

Точка (0;0) — центр симметрии гиперболы, оси координат — асимптоты гиперболы.

Обычно говорят, что две величины x и y обратно пропорциональны, если они связаны соотношением xy=k (где k — число, отличное от 0), или, что то же самое, y=kx.

По этой причине функцию y=kx называют иногда обратной пропорциональностью (по аналогии с функцией y=kx, которую называют прямой пропорциональностью).

Число k — коэффициент обратной пропорциональности.

Свойства функции y=kx при k>0

Описывая свойства этой функции, мы будем опираться на её геометрическую модель — гиперболу.

1. Область определения функции состоит из всех чисел, кроме x=0.

2. y>0 при x>0; y<0 при x<0.

3. Функция убывает на промежутках (−∞;0) и (0;+∞).

4. Функция не ограничена ни снизу, ни сверху.

5. Ни наименьшего, ни наибольшего значений у функции нет.

6. Функция непрерывна на промежутках (−∞;0) и (0;+∞) и претерпевает разрыв при x=0.

7. Область значений функции — объединение двух открытых лучей (−∞;0)∪(0;+∞).

Свойства функции y=kx при k<0

Описывая свойства этой функции, мы будем опираться на её геометрическую модель — гиперболу.

1. Область определения функции состоит из всех чисел, кроме x=0.

2. y>0 при x<0; y<0 при x>0.

3. Функция возрастает на промежутках (−∞;0) и (0;+∞).

4. Функция не ограничена ни снизу, ни сверху.

5. Ни наименьшего, ни наибольшего значений у функции нет.

6. Функция непрерывна на промежутках (−∞;0) и (0;+∞) и претерпевает разрыв при x=0.

7. Область значений функции — объединение двух открытых лучей (−∞;0)∪(0;+∞).

Дополнительный материал:
Домашнее задание:
Решите задания, перейдя по ссылкам:
Задание 1.https://math-oge.sdamgia.ru/test?theme=8
Задание 2.https://math-oge.sdamgia.ru/test?theme=62
Скриншот результата прислать учителю в личное сообщение в ВК.