Функции и графики

Функция, которую можно задать формулой y=ax2+bx+c¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯,гдеa,b,c∈Rиa≠0,

называется квадратичной функцией.

R — действительные числа,

x — независимая переменная, или аргумент,

y — зависимая переменная, или значение функции,

a — старший коэффициент,

b — второй коэффициент,

c — свободный член.

Областью определения функции y=ax2+bx+c¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯ (допустимыми значениями аргумента x) являются все действительные числа (R).

  

Графиком квадратичной функции является парабола.

Функцияy=x2  — частный случай квадратичной функции, когда a=1, b=0, c=0.

График строится с помощью таблицы значений: x −3 −2 −1 0 1 2 3 y 9 4 1 0 1 4 9 Вершина параболы находится в точке (0;0)

Функция вида y=ax2+bx+c,  где a, b, c — реальные числа, a ≠ 0, называется квадратичной функцией.

Графиком квадратичной функции является парабола.

Область определения функции D(f) — все действительные числа.

Область значений функции E(f) считывается с графика, она зависит от координаты y, вершины параболы и направления ветвей параболы.
    1 пример — E(f)=[−2;+∞);
    2 пример — E(f)=(−∞;2].

Параметр a определяет направление ветвей параболы:
   если a>0, то ветви направлены вверх (см. пример 1);
   если a<0, то ветви направлены вниз (см. пример 2).

  

Параметр c указывает, в какой точке парабола пересекает ось Oy.

  

Чтобы построить график квадратичной функции, необходимо:

1) вычислить координаты вершины параболы: x0=−b2aиy0 — которую находят, подставив значение x0  в формулу функции;

2) отметить вершину параболы на координатной плоскости, провести ось симметрии параболы;

3) определить направление ветвей параболы;

4) отметить точку пересечения параболы с осью Oy;

5) составить таблицу значений, выбрав необходимые значения аргумента x.

Решив квадратное уравнение ax2+bx+c=0, получаем точки пересечения параболы с осью Ox, или корни функции (если дискриминант D>0);

если D<0, то точек пересечения параболы с осью Ox не существует;

если D=0, то вершина параболы находится на оси Ox.

Но не всегда точки пересечения с осью Ox являются рациональными числами; если невозможно точно вычислить корень из D, то такие точки не используют для построения графика.

1.  Построй график функции y=x2−2x−1.

x0=−b2a=22=1;y0=12−2⋅1−1=−2.  Ветви параболы направлены вверх, т. к.  a=1>0.  Парабола пересекает ось Oy в точке (0;−1). x 2 3 4 y −1 2 7 Симметрично строим левую сторону параболы

Домашнее задание:
1. Постройте график функции  y=x²-4x+3. Укажите промежутки возрастания и убывания функции.
2. Постройте график функции y=0,5x²+2x+4. Укажите наименьшее значение этой функции.

Использованы материалы сайта https://www.yaklass.ru/